聖經與文化: SU(2),

Tuesday, November 4, 2025

SU(2),

我們來詳細解釋在物理學上下文中的 SU(2)。

SU(2) 是「特殊么正群 2」的簡稱。聽起來很數學，但我們可以一步步拆解它背後的物理意涵。

1. 數學定義：它是什麼？

S (特殊)：指該群矩陣的行列式為 1。
U (么正)：指該群矩陣是么正的，即 $U^{†} U = I$ 。這在物理上保證了機率守恆。
2：指這些是 2×2 的複數矩陣。

所以，SU(2) 就是所有行列式為1的2×2么正矩陣所構成的集合。它構成了一個「李群」，意味著我們可以連續地對其進行變換。

2. 核心物理概念：它做了什麼？

在物理學中，SU(2) 代表著一種對稱性變換。具體來說，它描述了一個具有兩個基本狀態的系統，在進行「旋轉」時所遵循的規則。

最經典的範例：自旋

想像一個電子，它的自旋有兩個基本狀態：

$∣ ↑ ⟩$ - 自旋向上
$∣ ↓ ⟩$ - 自旋向下

任何電子的自旋狀態都可以表示為這兩個基礎態的疊加： $ψ = a ∣ ↑ ⟩ + b ∣ ↓ ⟩$ ，其中 $∣ a ∣^{2} + ∣ b ∣^{2} = 1$ 。

SU(2) 對稱性：我們可以在這個由 $∣ ↑ ⟩$ 和 $∣ ↓ ⟩$ 張成的二維複數空間中，進行各種「旋轉」。
這些「旋轉」操作正是由 SU(2) 矩陣來描述的。最著名的生成元是泡利矩陣。
當我們對系統進行 SU(2) 變換時，系統的物理定律保持不變。這是一種深刻的對稱性。

下圖展示了SU(2)對稱性在自旋系統中的表現：

flowchart TD
    subgraph System [自旋系統]
        direction LR
        Up[自旋向上<br>|↑⟩]
        Down[自旋向下<br>|↓⟩]
    end

    Symmetry[SU(2) 對稱變換<br>（由泡利矩陣等生成）]

    System -- 經變換 --> Transformed[新的疊加態<br>a'|↑⟩ + b'|↓⟩]

    Symmetry -.-> System

3. SU(2) 在粒子物理標準模型中的關鍵角色

SU(2) 的對稱性不僅僅描述單個粒子的自旋，它更在標準模型中扮演了兩個至關重要的角色。

角色一：弱相互作用的核心 —— SU(2)_L

這是SU(2)在標準模型中最重要的應用。

「L」代表「左手性」：這個SU(2)對稱性只作用於左手性的費米子（例如，左手電子、左手夸克）。這直接導致了弱相互作用的一個核心特徵：宇稱不守恆。
將粒子組成「雙重態」：SU(2)_L 將左手性的粒子兩兩配對，形成所謂的「弱同位旋雙重態」。例如：
- 電子雙重態: ${(\begin{array}{c} ν_{e} \\ e^{-} \end{array})}_{L}$ （電子中微子，電子）
- 上型夸克雙重態: ${(\begin{array}{c} u \\ d \end{array})}_{L}$ （上夸克，下夸克）
規範對稱性：在電弱理論中，SU(2)_L 是一個局域規範對稱性。這意味著我們要求物理定律在每一時空點都滿足SU(2)_L對稱性。根據Yang-Mills理論，為了滿足這個局域對稱性，必須引入三個規範玻色子（力載子），它們就是 W⁺, W⁻, 和 W⁰ 玻色子。
對稱性破缺：通過希格斯機制，SU(2)_L 對稱性被「隱藏」起來，W⁺, W⁻, W⁰ 與U(1)_Y的B玻色子混合，產生了我們觀測到的有質量的 W⁺、W⁻、Z⁰ 玻色子和無質量的光子。

角色二：描述自旋與角動量

如前所述，SU(2) 群是描述自旋為1/2的粒子（所有費米子：夸克和輕子）其自旋自由度背後的數學群。這與它在量子力學中的原始角色一致。

總結

SU(2) 是一個描述「兩個基礎狀態的系統」如何進行旋轉變換的數學框架。在物理學中，它至關重要，因為：

它是弱相互作用的核心：作為 SU(2)_L 規範群，它解釋了為什麼弱力只作用於左手粒子，並預言了 W 和 Z 玻色子的存在。
它描述了自旋：它是所有費米子自旋自由度的基礎對稱群。
它組織了粒子：通過將粒子安排成雙重態（如 (ν_e, e⁻)），它為我們提供了對粒子家族一種深刻且有序的理解。

可以說，沒有SU(2)對稱性的概念，就沒有我們今天對微觀世界基本力的理解。